주파수 영역 모델링 1 - 라플라스 변환

1. 정의
   1. 라플라스 변환 : $L\left [ f(t) \right ]=F(s)=\int_{0-}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$
   2. 라플라스 역변환 : $L^{-1}\left [ F(s) \right ]=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }F(s)e^{st}ds=f(t)u(t)$이고, 여기서 $u(t)=\left\{\begin{matrix}
      1 (t>0) \\0(t\leq 0)
      \end{matrix}\right.$
2. 기본 변환 표

   $f(t)$	$F(S)$
   $\delta (t)$	$1$
   $u(t)$	$\frac{1}{s}$
   $tu(t)$	$\frac{1}{s^{2}}$
   $t^{n}u(t)$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
   $e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{s+a}$
   $\sin\omega tu(t)$	$\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}$
   $\cos\omega tu(t)$	$\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}$

3. 라플라스 변환과 관련된 정리

   이름	정리
   선형성	$L\left [ f_{1}(t)+f_{2}(t) \right ]=F_{1}(s)+F_{2}(s)$
   s-shifting	$L\left [ e^{-at}f(t) \right ]=F(s+a)$
   t-shifting	$L\left [ f(t-T) \right ]=e^{-sT}F(s)$
   scaling	$L\left [ f(at) \right ]=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$
   미분	$L\left [ \frac{\mathrm{d}^{n} f}{\mathrm{d} x^{n}} \right ]=s^{n}F(s)-\sum_{k=1}^{n}s^{n-k}f^{k-1}(0-)$
   적분	$L\left [ \int_{0-}^{1}f(\tau )d\tau  \right ]=\frac{F(s)}{s}$
   최종값 정리	$f(\infty )=\displaystyle \lim_{s \to 0}sF(s)$
   단, 최종값 정리가 성립하려면 $F(s)$의 극점이 모두 좌반평면에 있어야 하고, 원점에 극점이 있어선 안된다.
   초기값 정리	$f(0+)=\displaystyle \lim_{s \to \infty }sF(s)$

4. 전달 함수
   1. 전달 함수 : 모든 초기값이 0인 상태에서 시스템의 미분방정식에 라플라스 변환을 취해 입력 신호와 출력 신호의 비를 구하면 $$\frac{C(s)}{R(s)}=G(s)=\frac{b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots +b_{0}}{a_{m}s^{m}+a_{m-1}s^{m-1}+\cdots +a_{0}}$$의 형태로 구해지므로, 이 $G(s)$를 전달 함수라고 한다. 따라서 출력 $C(s)$는 입력과 전달 함수의 곱 $C(s)=R(s)G(s)$으로 구할 수 있다.
   2. 입력 신호가 $\delta (t)$로 주어졌을 때, 임펄스 함수의 라플라스 변환은 $1$이므로 주파수 영역에서의 임펄스 응답은 바로 $G(s)$가 되고, 따라서 임펄스 응답은 $L^{-1}\left ( G(s) \right )$로 구할 수 있다.