제어공학

주파수 영역 모델링 2 - 전기 및 기계 시스템

KONKOYO 2022. 10. 3. 12:07
        1. 전기 회로망 전달 함수
          1. 전기 회로 소자의 기본 방정식
            회로 소자 전압과 전류 전류와 전압 전압과 전하량 주파수 영역의
            임피던스
            콘덴서 $C$ $v(t)=\frac{1}{C}\int_{0}^{1}i(\tau )d\tau$ $i(t)=C\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}$ $v(t)=\frac{1}{C}q(t)$ $\frac{1}{Cs}$
            저항 $R$ $v(t)=Ri(t)$ $i(t)=\frac{1}{R}v(t)$ $v(t)=R\frac{\mathrm{d} q(t)}{\mathrm{d} t}$ $R$
            인덕터 $L$ $v(t)=L\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d} t}$ $i(t)=\frac{1}{L}\int_{0}^{1}v(\tau )d\tau$ $v(t)=L\frac{\mathrm{d}^{2} q(t)}{\mathrm{d} t^{2}}$ $Ls$
          2. 회로 해석 : 회로이론에서 배웠던 루프 해석, 마디 해석, 테브낭 정리, 노턴 정리 등의 여러 해석법들을 동원하여 회로 소자들을 주파수 영역에서의 임피던스로 모두 고치고 입력과 출력의 관계를 구한다.
          3. 연산 증폭기
            1. 이상적인 연산 증폭기의 특성 : $v_{2}(t)-v_{1}(t)$을 입력으로 받고, 입력 임피던스가 무한대에 출력 임피던스가 0이며, 증폭 이득이 무한대이다. 따라서 이상적인 연산 증폭기는 두 입력 단자의 전압의 크기가 같고, 전류는 흐르지 않게 된다.
            2. 일반적인 연산증폭기의 출력 $v_{o}(t)=A\left ( v_{2}(t)-v_{1}(t) \right )$
            3. 반전 연산 증폭기 : 페이지 하단 그림과 같이 전압 $v_{2}(t)$를 접지시키면 출력 $v_{o}(t)=-Av_{1}(t)$가 되고 전달 함수는 $$G(s)=\frac{V_{o}(s)}{V_{i}(s)}=-\frac{Z_{2}(s)}{Z_{1}(s)}$$
            4. 비반전 연산 증폭기 : 출력은 $v_{o}(t)=A\left ( v_{i}(t)-v_{1}(t) \right )$이 되고 전달 함수는 $$G(s)=\frac{V_{o}(s)}{V_{i}(s)}=\frac{Z_{1}(s)+Z_{2}(s)}{Z_{1}(s)}=\frac{Z_{2}(s)}{Z_{1}(s)}+1$$
        2. 직선 운동하는 기계 시스템
          1. 기본적인 기계 요소의 관계식
            기계 요소 힘과 변위 주파수 영역의 임피던스
            스프링 $K$ $f(t)=Kx(t)$ $K$
            댐퍼 $f_{v}$ $f(t)=f_{v}\frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t}$ $f_{v}s$
            질량 $M$ $f(t)=M\frac{\mathrm{d}^{2} x(t)}{\mathrm{d} t^{2}}$ $Ms^{2}$
          2. 시스템 해석 방법 : 각 질량에 작용하는 모든 힘을 그림으로 그려 방향별로 힘의 총합을 구해 두 방향으로 작용하는 힘이 같다고 놓는다. 두 질량 $M_{1}$과 $M_{2}$ 사이에 스프링이나 댐퍼가 있을 경우, $M_{1}$에 작용하는 힘을 구할 땐 두 질량 사이에 있는 스프링과 댐퍼 성분을 $M_{1}$의 변위에 대해서는 운동 방향과 반대 방향으로, $M_{2}$의 변위에 대해서는 운동 방향과 같은 방향으로 놓게 된다.
        3. 회전 운동하는 기계 시스템 : 위의 직선 운동하는 기계 시스템에서 질량이 관성 모멘트 $J$가 되고, 사용하는 물리량이 힘과 변위가 아닌 토크 $T(t)$와 각변위 $\theta(t) $가 되며 각 요소에 대한 임피던스는 스프링은 $K$, 댐퍼는 $Ds$, 관성 모멘트는 $Js^{2}$가 된다.
        4. 기어가 포함된 기계 시스템 : 기어의 톱니수가 각각 $N_{1}$과 $N_{2}$일 때, 톱니수의 비와 토크, 각변위, 반지름의 관계는 $\frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{\theta _{2}}{\theta _{1}}=\frac{T_{1}}{T_{2}}$가 되며, 만약 임피던스 $Z_2{s}$가 기어 2쪽에 있을 경우 이를 기어 1쪽에 전달되는 임피던스로 환산하면 $Z_{1}(s)=Z_{2}(s)\left ( \frac{N_{1}}{N_{2}} \right )^{2}$가 된다.

반전 연산 증폭기
비반전 연산 증폭기

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