회로이론 2 - 교류 회로 해석

1. 역률과 전력
   1. 역률, 평균전력, 순시전력
      1. 교류 회로의 순시전력 $p(t)=v(t)i(t)$
      2. 여기서 $v(t)=V_{m}\cos\omega t$, $i(t)=I_{m}\cos(\omega t-\theta)$이라고 할 때 순시전력을 구하여 정리하면 $p(t)=\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos\theta+\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos(2\omega t-\theta)$가 되는데, 이를 시간 $t$에 대한 평균을 구해보면 첫번째 항은 시간과 관련이 없고 두번째 항은 삼각함수로 시간에 대한 평균이 0이 되므로 평균전력 $P=\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos\theta$
      3. 전압과 전류의 실효값은 $V=\frac{V_{m}}{\sqrt{2}}$, $I=\frac{I_{m}}{\sqrt{2}}$로 구하므로 평균전력의 실효치는 $P=VI\cos\theta$로써 주어지고, 여기서 $\theta$는 전압과 전류의 위상 차이인 역률각, $\cos\theta$는 역률이다.
   2. 복소전력
      1. 전압과 전류를 페이저로 나타냈을 때 복소전력 $\vec{S}=\vec{V}\cdot \vec{I}^{*}=P+jQ$로 주어지고, 여기서 $P$는 저항이 소비하는 유효전력, $Q$는 리액턴스가 소비하는 무효전력, 복소전력의 크기 $\left| \vec{S} \right|$는 피상전력이 되며, 여기서 역률은 $PF=\frac{P}{S}$
      2. 만약 역률각이 $-90^{\circ}$에서 $90^{\circ}$ 사이이면 유효전력이 0보다 커서 전원이 전력을 발생시키고, $90^{\circ}$에서 $270^{\circ}$ 사이가 되면 유효전력이 0보다 작아서 전원이 전력을 소비하게 되는데, 이는 수동 소자가 아닌 능동 소자가 부하에 연결되었을 때 발생한다.
2. 3상 회로
   1. 3상 전압 : a, b, c상의 전압은 각각 $v_{a}=V_{m}\sin\omega t$, $v_{b}=V_{m}\sin(\omega t-120^{\circ})$, $v_{c}=V_{m}\sin(\omega t-240^{\circ})$으로 주어진다.
   2. 3상의 전원과 부하 단자의 결선 방식은 $Y$결선과 $\Delta$결선이 있다.
      1. 평형 $\Delta$결선 전원에서 평형 $Y$결선 전원으로 변환 : $\vec{V_{a}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\angle -30^{\circ}$
      2. 평형 $Y$결선 전원에서 평형 $\Delta$결선 전원으로 변환 : $\vec{V_{ab}}=\sqrt{3}\angle 30^{\circ}$
      3. 평형 $Y$결선과 평형 평형 $\Delta$결선 부하의 관계 : $\vec{Z_{\Delta }}=3\vec{Z_{Y}}$
   3. 평형 3상 회로의 해석 : 전원과 부하를 $Y$결선으로 바꿔서 1상에 대해서만 해석하여 나머지 상은 위상을 $120^{\circ}$만 차이나게 하면 된다. 세 상은 역률각이 모두 동일하고, 3상 전력은 1상에서 계산된 상전력에 3배를 하면 구해진다. 따라서 3상의 유효전력과 무효전력 역시 1상에서 구한 값의 3배가 된다.
   4. 선간전압, 선전류, 상전압, 상전류의 관계
      1. 선간전압($E_{L}$)은 인출단자 사이의 전압, 상전압($E_{p}$)은 부하 양단의 전압을 말하고 선전류($I_{L}$)는 인출 단자에 흐르는 전류, 상전류(($I_{p}$))는 부하에 흐르는 전류를 말한다.
      2. $Y$결선에서 $E_{L}=\sqrt{3}E_{p}$에 선전류와 상전류는 같다.
      3. $\Delta$결선에서 $I_{L}=\sqrt{3}I_{p}$에 선간전압과 상전압은 같다.