시간 영역 모델링 1 - 상태 공간 표현

1. 기본 용어
   1. 선형 독립 : 집합의 원소가 되는 모든 변수가 각각 다른 변수들의 선형 결합으로 표시되지 않는 경우를 말한다.
   2. 시스템 변수 : 시스템의 입력이나 초기 조건이 변하면 값이 달라지는 시스템 내의 변수이다.
   3. 상태 변수 : 시스템의 모든 변수를 구하기 위해 꼭 필요한 선형 독립인 시스템 변수들이다.
   4. 상태 벡터 : 상태 변수들을 원소로 하는 벡터이다.
   5. 상태 공간 : 상태 변수를 좌표축으로 하는 $n$차원 공간이다.
   6. 상태 방정식 : $n$개의 상태 변수들의 관계를 나타내는 $n$개의 연립 1차 미분방정식이다.
   7. 출력 방정식 : 시스템의 출력 변수를 상태 변수와 입력의 선형 결합으로 나타낸 대수 방정식이다.
2. 상태 공간 모델링
   1. 시스템을 상태 공간에서 표현한 방정식은 다음과 같다. $$\left\{\begin{matrix}\mathbf{\dot{x}=Ax+Bu}
       \\
      \mathbf{y=Cx+Du}\end{matrix}\right.$$
   2. 여기서 $x$는 상태 벡터, $y$는 출력 벡터, $u$는 입력 벡터이고, $A$는 시스템 행렬, $B$는 입력 행렬, $C$는 출력 행렬$, $D$는 순방향 이득 행렬이라고 한다.
   3. 시스템 내의 변수들이 상태 변수로 구성되기 위해서는 이 변수들이 모두 선형 독립이어야 하며, 상태 변수는 최소한 시스템을 나타내는 미분 방정식의 차수보다 많아야 한다.
   4. 전기 시스템은 콘덴서나 인덕터의 전압이나 전류로, 기계 시스템은 각 질량의 변위와 속도로 상태 변수를 정하면 좋다.