시간 영역 모델링 2 - 전달 함수와 상태 공간 표현식 간의 전환

1. 전달 함수를 상태 공간 표현식으로 변환하기
   1. 전달함수 $\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{k}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\cdots+k}$의 분자가 상수 : 이 식을 대각선으로 서로 곱해서 라플라스 역변환을 취하면 $L^{-1}(s^{n}C(s))=\frac{d^{n}c(t)}{dt^{n}}$임을 이용해서 좌변엔 $c(t)$의 n계 미분부터 미분하지 않는 항까지, 우변엔 $r(t)$에 상수계수가 곱해진 식이 구해진다. 여기서 상태 변수를 $x_{1}=c$, $x_{2}=\frac{dc}{dt}$, $\cdots$, $x_{n}=\frac{d^{n-1}c}{dt^{n-1}}$로 두면 출력은 $y=c=x_{1}$이 되므로 시스템 행렬의 마지막 행을 제외하고 1열은 0, 2열부터는 1이 우하향 대각선으로 배치되며 마지막 행에는 전달 함수의 분모항의 계수가 부호가 반전되어 역순으로 배치된다.
   2. 만일 분자가 상수가 아닌 다항식일 경우 전달 함수를 분모항에 대한 전달함수 $\frac{1}{R(s)}$와 분자항에 대한 전달함수 $C{s}$의 종속 접속으로 분리하고 $\frac{1}{R(s)}$에서 상태 방정식을, $C{s}$에서 출력 방정식을 구한다. 출력 방정식을 구할 때 출력은 시스템의 출력 $Y(s)$, 입력은 상태 변수의 첫번째 변수 $X_{1}(s)$가 된다.
2. 상태 공간 표현식을 전달 함수로 변환하기 : 상태 방정식과 출력 방정식이 $\left\{\begin{matrix}\mathbf{\dot{x}=Ax+Bu}
    \\
   \mathbf{y=Cx+Du}\end{matrix}\right.$로 주어질 경우, 초기 조건이 0이라 놓고 라플라스 변환을 취하면 $\left\{\begin{matrix}s\mathbf{X}(s)=\mathbf{A}\mathbf{X}(s)+\mathbf{B}\mathbf{U}(s)
    \\
   \mathbf{Y}(s)=\mathbf{C}\mathbf{X}(s)+\mathbf{D}\mathbf{U}(s)\end{matrix}\right.$의 형태가 되므로, 위 식에서 $\mathbf{X}(s)$를 구하면 $\mathbf{X}(s)=\left ( s\mathbf{I}-\mathbf{A} \right )^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}(s)$가 된다. 따라서 이를 아래 식에 대입하여 정리하면 전달 함수 $T(s)$는 $$T(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\mathbf{C}\left ( s\mathbf{I}-\mathbf{A} \right )^{-1}\mathbf{B}+\mathbf{D}$$
3. 선형화 : 비선형 시스템의 작동점 $(x_{0}, f(x_{0}))$에서 비선형 함수 $f(x)$를 근사시키려면 작동점 근처의 작은 변화량 $\delta x$에 대한 출력의 작은 변화량 $\delta f(x)$을 놓고 테일러 급수에서 $f(x)-f(x_{0})\approx \left.\begin{matrix}\frac{df}{dx}
   \end{matrix}\right|_{x=x_{0}}(x-x_{0})$가 되므로 $x$를 $\delta x$로 변환했을 때 비선형 함수 $f(x)$의 자리는 $\delta f(x)=\left.\begin{matrix}\frac{df}{dx}
   \end{matrix}\right|_{x=x_{0}} \delta x$가 차지하게 된다.