회로이론 1 - 회로해석 일반

1. 기본적인 회로 법칙
   1. 키르히호프의 전압 법칙 (KVL) : 폐회로 내의 기전력의 합은 전압강하의 합과 같다.
   2. 키르히호프의 전류 법칙 (KCL) : 분기점에서 유출전류와 유입전류의 합은 같다.
   3. 옴의 법칙 : $v_{R}=Ri$
   4. 인덕터의 전압 : $e_{L}=L\frac{di}{dt}$
   5. 커패시터의 전류 : $i_{C}=C\frac{dv}{dt}$
   6. 이상적인 변압기의 성질 : $\frac{N_{2}}{N_{1}}=\frac{V_{2}}{v_{1}}=\frac{I_{1}}{I_{2}}$
2. 직류 회로의 정상 상태 : 인덕터 커패시터가 있는 회로에 직류를 투입하고 정상 상태가 되면 인덕터는 전압이 $e_{L}=L\frac{di}{dt}=0$이 되어 단락 회로가 되고, 커패시터는 전류가 $i_{C}=C\frac{dv}{dt}=0$이 되어 개방 회로가 된다.
3. 직류 RL 회로의 과도 상태
   1. 전원 투입시 : KVL을 적용하면 회로방정식은 $L\frac{di}{dt}+Ri=V$가 되고 인덕터의 초기 전류를 0이라 해서 풀면 인덕터의 전류 응답은 $i(t)=\frac{V}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)$이 되고, 여기서 시정수는 $\tau=\frac{L}{R}$
   2. 전원 제거시 : 위의 전원 투입시 방정식에서 이번엔 우변의 입력이 0이 된 상황이므로 회로방정식은 $L\frac{di}{dt}+Ri=0$이 되고, 전류는 연속적으로 흘러야 하므로 이번엔 전류의 초기 조건이 정상 상태에서의 $\frac{V}{R}$이라고 하면 인덕터의 전류 응답은 $i(t)=\frac{V}{R}e^{-\frac{R}{L}t}$
4. 교류 정상 상태의 페이저 해석
   1. 위의 RL 회로에서 이번엔 입력이 교류 전압으로 주어질 경우 회로방정식은 $L\frac{di}{dt}+Ri=V_{m}\cos\omega t$가 되는데, 이 때 해는 $i(t)=A\cos\omega t+B\sin\omega t=I_{M}\cos\left ( \omega t-\theta \right )$로 나타낼 수 있다.
   2. 여기서 전원 $V_{m}\cos\omega t$와 전류를 복소수라고 가정하면 전압을 $V_{m}e^{j\omega t}$, 전류를 $I_{m}e^{j(\omega t+\theta)}$로 나타낼 수 있고, 이를 위의 회로방정식에 대입하여 정리하면 $RI_{m}e^{j\theta}+j\omega LI_{m}e^{j\theta}=V_{m}$가 된다. $I_{m}e^{j\theta}$와 $V_{m}$을 복소수 $\dot{I}$와 $\dot{V}$로 보면 $R\dot{I}+j\omega L\dot{I}=\dot{V}$ 형태의 대수방정식으로 변한다. 여기서 $\dot{I}$와 $\dot{V}$을 페이저라고 한다.
   3. 시간 영역에서 $R$, $L$, $C$는 주파수 영역에서 각각 임피던스 $Z_{R}=R$, $Z_{L}=j\omega L$, $Z_{C}=\frac{1}{j\omega C}$가 된다.